学习计划（算术几何与代数数论）

第一阶段

1. 分析主线：数学分析

   1. baby rudin：只看前九章
   2. 基本分析讲义：复习概念
   3. 重点：
      1. 一致收敛和极限交换
      2. 隐函数定理

2. 拓扑流形主线：

   1. 点集拓扑：GTM 202

      1. 前四章 + GTM218附录
      2. 重点：
         1. 商拓扑和仿紧致性

   2. 微分流形：Loring W. Tu《An Introduction to Manifolds》

      1. 重点：切空间、微分形式、Stokes 定理，de Rham 上同调

3. 代数主线：线性代数+抽象代数

   1. 线性代数：Hoffman & Kunze《Linear Algebra》
   2. 抽象代数：李文威（代数学方法-卷一）

第二阶段

1. 分析主线：实分析（Folland） + 复分析（Ahlfors）
   1. Folland：
      1. 重点：测度论和 $L^p$ 空间
   2. Ahlfors：
      1. 重点：复平面上的留数计算和保角映射直觉
2. 代数主线：交换代数

   1. Atiyah（精读并做完所有习题）

   2. 参考：Matsumura《Commutative Ring Theory》

   3. 重点：局部化（Localization）、张量积、平坦性（Flatness）、深度（Depth）以及 $\text{Spec}(A)$ 的几何图像

3. p-adic Numbers：Fernando Q. Gouvêa《p-adic Numbers: An Introduction》

第三阶段

1. 黎曼曲面：Rick Miranda 《Algebraic Curves and Riemann Surfaces》

2. 解析数论与模形式

   1. 初等数论：华罗庚数论导引（迅速浏览完）
   2. 解析数论：Davenport《Multiplicative Number Theory》
   3. 模形式：Diamond & Shurman《A First Course in Modular Forms》

3. 泛函分析：Conway《A Course in Functional Analysis》

   1. 只读前两章
   2. 重点： Hilbert 空间、算子代数、谱定理

4. 代数拓扑：Hatcher《代数拓扑》

   1. 精读前三章

5. 同调代数：Weibel《同调代数导论》

   1. 精读前三章+第六章
   2. 重点：链复形、导出函子、Tor 和 Ext、谱序列、群上同调

第四阶段

1. 代数几何：
   1. Shafarevich 的 Basic Algebraic Geometry 1
   2. Hartshorne（GTM52）：Ch 1-3，做习题
   3. Liu Qing 《Algebraic Geometry and Arithmetic Curves》
2. 代数数论、类域论、群上同调、伽罗瓦上同调：
   1. Neukirch
   2. J.-P. Serre《Local Fields》
   3. J.-P. Serre《Linear Representations of Finite Groups》
   4. J.-P. Serre《Galois Cohomology》
   5. Cassels & Fröhlich

第五阶段

1. 分支 A：Arithmetic Geometry / Scholze 路线

   1. Etale Cohomology：Milne

   2. 椭圆曲线：Silverman

      1. The Arithmetic of Elliptic Curves
      2. Advanced Topic of Arithmetic of Elliptic Curves

   3. Abelian Varieties：J.S. Milne《Abelian Varieties》

   4. 非阿基米德解析几何

      1. 刚性几何
      2. Adic Spaces：Torsten Wedhorn《Adic Spaces》
      3. Perfectoid Spaces：(Scholze)
         1. Bhatt 的讲义（先看）
            1. Lecture notes for a class on perfectoid spaces（密歇根大学研究生课程讲义，讲基础拓扑建立过程）
            2. The Hodge-Tate decomposition via perfectoid spaces（亚利桑那冬校讲义，展示如何使用Perfectoid Spaces）
         2. Berkeley Lectures on p-adic Geometry（Scholze & Weinstein）
         3. Scholze原始论文

   5. p-adic Hodge：Fontaine 的原始论文或 Brinon-Conrad 讲义

2. 分支 B：Langlands Program / Wiles 路线

   1. Silverman (Elliptic Curves)

   2. 自守形式：

      1. 线性代数群基础：Springer《Linear Algebraic Groups》
      2. 李代数表示：J.E. Humphreys《Introduction to Lie Algebras and Representation Theory》
      3. Daniel Bump《Automorphic Forms and Representations》

   3. 综述：

      1. “An Elementary Introduction to the Langlands Program”
      2. 《An Introduction to the Langlands Program》

   4. Jacquet-Langlands 理论

   5. Shimura Varieties

Last modified on 2026-02-28