Math Research

1. 基础部分：适当做题，掌握语言、概念、实例、反例

数学分析：
1. 教材：
  1. rudin
  2. 卓里奇
  3. Stein：Fourier Analysis, an Introduction：Chapter 2-6
2. 参考资料：
  1. 汪林:数学分析中的问题与反例
  2. 基本讲义
线性代数：
1. 教材：LADR 4th edition
2. 参考：丘维声（补充知识点）
点集拓扑：
1. 教材：
  1. Armstrong（入门）
  2. Munkres（或中译本快速补充知识点）
复分析：
1. 教材：
  1. Ahlfors
2. 参考：
  1. Stein：Complex Analysis
  2. Walter Rudin: 实分析与复分析
实分析：
1. 教材：
  1. Folland: Real Analysis and its applications, Chapter 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9
2. 参考：
  1. Stein: Real Analysis
  2. 汪林:实分析中的反例
泛函分析：
1. 教材：
  1. Haım Brezis: Functional Analysis
2. 参考：
  1. 汪林:泛函分析中的反例
  2. Rudin（比较抽象）
  3. Yosida（进阶）
调和分析：
1. 教材：
  1. Stein
微分流形：
1. 教材：
  1. John Lee: Introduction to Smooth Manifold (光滑流形导论), GTM 218
  2. UCB教学视频（GTM218配套）
抽象代数：
1. 教材：
  1. 李文威：代数学方法
微分几何：
1. 教材：
  1. 彭家贵、陈卿：《微分几何》（尽快学完）
微分方程：
1. ODE：
  1. 教材：丁同仁、李承治:常微分方程教程，第1-6、8-9章
2. PDE：
  1. 教材：Evans: Partial Differential Equations, 2nd edition

2. 进阶部分：少量做题，掌握理论、证明、应用场景

分析与微分方程：
- 高级实分析：Folland
- 泛函分析：Reed-Simon《Methods of Mathematical Physics》
- 调和分析：Stein
- 微分方程：Evans: Partial Differential Equations, 2nd edition
- 几何测度论
- 微分动力系统
- 多复变函数：Lars Hormander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables.
几何与拓扑：
- 黎曼几何：
  - 教材：Do Carmo: Riemannian Geometry
  - 参考：Milnor: Morse Theory(莫尔斯理论)
- 代数拓扑：
  - 教材：
    - Allen Hatcher: Algebraic Topology
    - GTM82 Differential Forms in Algebraic Topology
- 黎曼曲面：
  - 教材：Forster《Lectures on Riemann Surfaces》
  - 参考书：
    - Miranda: Riemann Surfaces and Algebraic Curves
    - Griffith, Harris: Principal of Algebraic Geometry
  - 关键定理：Uniformization Theorem/Riemann- Roch定理/Abel-Jacobi定理
- 复几何*
- 现代拓扑*
代数与数论：
- 交换代数：
  - 教材：
    - Atiyah
    - Matsumura: Commutative Ring Theory
- 同调代数：
  - 教材：Weibel：An Introduction to Homological Algebra
- 代数几何：
  - 教材：
    - GTM 52：http://therisingsea.org/（详细证明了GTM部分章节的定理）
    - Liuqing：Algebraic Geometry and Arithmetic Curve
    - Vakil: The Rising Sea
    - EGA
    - 扶磊
  - 参考资料：Stack Project
  - 代数几何进阶：
    - 双有理几何：
      - Birational Geometry of Algebraic Varieties， Kollar-Mori（教材）
      - Positivity in Algebraic Geometry，Lazarsfeld
    - Hodge理论：
      - Intersection Theory , Fulton（入门）
      - Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry 1，2， Claire Voisin（更深更完整）
    - 模空间：
      - Moduli of curves (GTM187), Harris（参考书）
      - Geometric invariant theory, Mumford
- 代数数论：
  - 参考资料：J. S. Milne:
    - Algebraic Number Theory
    - Class Field Theory
    - Elliptic Curves
    - Abelian Varieties
    - Shimura Varieties
    - Complex Multiplication
    - Modular Functions and Modular Forms,
    - Lecture on Etale Cohomology
  - 古典代数数论：
    - 教材：“Algebraic Number Theory” by Cassel and Frohlich.
    - 参考：
      - Jurgen Neukirch: Algebraic Number Theory
      - S.Lang Algebraic Number Theory， GTM 110
  - 解析方法：Tate’s thesis
    - Tate：Fourier analysis in number fields and Hecke’s zeta-functions（Cassel and Frohlich）
  - 局部域：
    - J.P.Serre: Local Fields, GTM 67
  - 类域论：
    - Milne
    - Jurgen Neukirch: Class field theory
    - S.Lang：Algebraic Number Theory，GTM 110
- ? 代数数论进阶：
  - 算数几何
  - 模形式
  - 分圆域和岩泽理论
  - 自守形式和Langlands纲领
  - p进Hodge
  - Galois表示
- 解析数论：
  - 教材：
    - Iwaniec Henryk, Kowalski Emmanuel: Analytic number theory
    - 双潘：哥德巴赫猜想
  - 重要内容：乘性数论，加性数论，筛法，圆法
- 表示论：
  - 群与表示论：
    - 丘维声:群表示论
    - J. P. Serre: Linear Representations of Finite Groups，GTM 42, Springer
  - 李群及其表示论：
    - Anthony W.Knapp: Lie Groups Beyond an introduction
  - 李代数：可以和李群一起学
    - Jean-Pierre Serre: Lie Algebras and Lie Groups
  - 抽象调和分析/拓扑群表示论
    - Gerald B. Folland: A Course in Abstract Harmonic Analysis
    - 李文威： https://www.wwli.asia/downloads/BasicRep.pdf

3. 研究初步：理论作为黑箱，关心运用技术，试图解决问题

研究建议：
1. 认真学习具有广泛应用的内容，在确定需要之前，不要花大量时间学习某个狭窄方向的技术细节
2. 与其学习其技术细节和基础，不如学习如何将其应用于解决问题（理论视为黑箱，关注in-out）
3. 如何建立信心：理解一些重要技术如何被应用于解决有趣的问题
  1. 尽早开始阅读研究文献：
    1. 不要期望一开始就能理解论文的技术核心。你的目标是感受如何通过看到别人如何做，来调动所有抽象理论的力量解决实际问题
    2. 要注意的是参考文献——它可能会引导你找到解释必要背景材料的其他来源。从顶层开始，然后逐步深入，而不是试图从头开始构建一切，通常是更高效的。（这通常是数学家在学习新东西时的做法——从一篇感兴趣的论文开始，然后回到基础文献，填补那些从论文本身无法理解的部分。）
    3. 论文建议：Deligne关于Weil猜想的第一篇论文、Ribet的《Inventiones》100号文章、Faltings在Cornell-Stevens中的论文、Serre在《Duke》54号中关于模形式和Galois表示的猜想的论文
  2. 解决问题：拿一篇你正在阅读的论文，找到一个你能理解其假设的技术引理，然后看看你是否能自己证明这个引理（如果你在认真努力后仍然无法自己解决，你将处于一个更好的位置来理解和欣赏作者的论证——无论他们使用了什么技巧或技术，你将来可能都会记住）
算术代数几何基础：
1. 类域论进阶：
2. 椭圆曲线：
  1. Silverman，Arithmetic of Elliptic Curves, GTM 106
  2. Silverman，Advanced Topic of Arithmetic of Elliptic Curves, GTM 151
  3. A.Sutherland, Elliptic Curves（MIT课程，适合研究椭圆曲线阅读）
3. Abel簇：
  1. Milne
  2. Cornell，Silverman：Arithmetic Geometry
4. 平展上同调：Milne
5. 模形式：
  1. 李文威，模形式初步
  2. Diamond, Shurman, A First Course in Modular Forms GTM 228
  3. 进阶：Katz & Mazur《Arithmetic Moduli of Elliptic Curves》
6. 刚性几何：
  1. Bosch《Lectures on Formal and Rigid Geometry》
  2. Bhatt《Lecture Notes on Perfectoid Spaces》
  3. Scholze
7. p-adic Hodge
算术代数几何进阶：
1. Deligne - Weil I II
  1. 原始论文 - Deligne《La conjecture de Weil I & II》
  2. Milne -《Lectures on Étale Cohomology》
  3. Freitag与Kiehl的《Etale Cohomology and the Weil Conjecture》
2. Faltings - Mordell Conj
  1. 原始论文
  2. 《Arithmetic Geometry》（Cornell-Silverman）
  3. 后续改进：Vojta的几何方法，Vojta利用Diophantine逼近理论与相交数几何，将问题转化为对高度函数的估计
3. Taylor&Wiles - FLT
  1. 原始论文
  2. 《Modular forms and Fermat’s Last Theorem》（Cornell-Silverman-Stevens）
4. Ribet-Inventiones 100（On modular representations arising from modular forms）
5. Mazur-Modular curves and the Eisenstein ideal
算术代数几何前沿：
1. 自守形式与Langlands纲领：
  1. Knapp-《Introduction to the Langlands Program》（综述性书籍）
  2. 知乎
  3. https://langlandslearninggroup.github.io/video_lecture.html（学习资料汇总）
  4. IHES Langlands summer school 2022（原始链接：https://www.youtube.com/channel/UC4R1IsRVKs_qlWKTm9pT82Q）
  5. Corvallis
2. Hodge理论：Motives
  1. Voevodsky《Triangulated Categories of Motives》
  2. Mazza-Weibel《Lecture Notes on Motivic Cohomology》
  3. Intersection Theory (相交理论), Fulton
  4. Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry 1，2， Claire Voisin
3. 数论：5-10年内影响很大的文章或领域
  1. Bhatt-Scholze, Prisms and prismatic cohomology
  2. Kelatha, Regular supercuspidal representations
  3. Breuil-Hu-Morra-Schraen, Gelfand-Kirillov dimension and mod p cohomology for GL2
  4. Venkatesh, Derived Hecke algebra and cohomology of arithmetic groups
  5. incoherent automorphic representations
  6. 数论组的所有ICM talks
4. 椭圆曲线和模形式
5. Perfectoid Spaces：
6. condensed mathematics
论文集：
1. 《Arithmetic Geometry》（Cornell-Silverman）
2. 《Modular forms and Fermat’s Last Theorem》（Cornell-Silverman-Stevens）
3. Ribet-Inventiones 100（On modular representations arising from modular forms）
4. Mazur-Modular curves and the Eisenstein ideal
5. Corvallis
6. Motives
7. Edinburg

4. 研究进阶：研读经典文献，读最新热门paper（主页论文，研讨会，arxiv，ICM）

研究方向（暂定）：复代数几何，算术代数几何，代数数论，解析数论
大问题：
1. 素数分布：孪生素数猜想，哥德巴赫猜想，黎曼猜想
2. 代数几何：Hodge猜想，BSD猜想
黎曼猜想：
1. Riemann zeta function：
  1. 入门：H.M.Edwards：Riemann‘s zeta function
  2. 进阶（可以不看）：E.C. Titchmarsh：The Theory of the Riemann Zeta-Function
  3. 进阶（覆盖Titchmarsh的内容，直至八十年代末）：Aleksandar Ivic:The Riemann zeta-function, Theory and apllications
2. 解析数论：
  1. Hugh Montgomery，Robert Vaughan：Multiplicative number theory：1. classical theory
  2. Iwaniec（全面，且介绍了黎曼猜想的最新进展）
3. 代数几何：weil猜想
4. Iwaniec：lectures on the Riemann zeta function
Hodge猜想：
1. voisin：hodge theory and complex algebraic geometry I，II
2. 看文献：griffth, green, deligne, voisin，bloch等人的文章
3. griffiths和green在2006年的一篇文章给出了解决的纲领。大概是说，对于复n维代数流形X，我们只需证明Hdg^p(X,Q){primitive｝：=H^{p,p}(X){primitive}\cap H^n(X,Q)满足hodge conjecture即可，其中n=2p. 而对于Hdg^p(X,Q){primitive}里的每一个元素, 都对应一个normal function,它是J（H）的一个截面. 在2009年，有人证明了normal function singular和algebraic cycle等价，所以normal functions singular就等价于hodge conjectire成立，这篇文章发在invention上。然后你可以试一试，对于一些特殊的流形，能否证明normal functions singular.
4. 与其它千禧年六大难题相比，hodge conjecture的优势在于，你可以解决某种特殊情况，你只要解决一种流形的情况，就可以发在math.ann以及更高档次的杂志上

Last modified on 2025-09-11